Question

【題目】如圖，點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，將直線DB繞點O順時針方向旋轉，交DC、AB于點E、F．

（1）證明：△DEO≌△BFO；

（2）若DB=2，AD=1，AB=，當DB繞點O順時針方向旋轉45°時，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）菱形，證明見解析.

【解析】

(1)由CD∥AB、OD=OB即可證明；

(2)由△DEO≌△BFO得OE=OF，結合OA=OC可判斷AECF是平行四邊形，再根據(jù)題干所給條件可證明∠AOE=90°，則可判定該四邊形為菱形.

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，

∴∠CDO=∠ABO，∠DEO=∠BFO．

又∵點O是平行四邊形的對稱中心，

∴OD=OB．

∴△DEO≌△BFO．

（2）解：∵在△ABD中，DB=2，AD=1，AB=，

∴DB2+AD2=AB2．

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°

∵OD=OB=DB=1，

∴AD=OD=1．

∴△OAD是等腰直角三角形，

∴∠AOD=45°．

當直線DB繞點O順時針旋轉45°時，即∠DOE=45°，

∴∠AOE=90°

∵△DEO≌△BFO，

∴OE=OF

又∵點O是平行四邊形的對稱中心，

∴OA=OC

∴四邊形AECF是平行四邊形

∴四邊形AECF是菱形．