Question

【題目】如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

（1）觀察猜想

在如圖中，線段PM與PN的數量關系是______，∠MPN的度數是______；

（2）探究證明

把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到如圖的位置，

①判斷△PMN的形狀，并說明理由；

②求∠MPN的度數；

（3）拓展延伸

若△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=12，點DE分別在邊AB，AC上，AD=AE=4，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，如圖．

①△PMN的是______三角形．

②直接利用①中的結論，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN，120°．（2）①△PMN是等腰三角形．證明見解析；②120°．（3）①等腰直角；②32.

【解析】

（1）結論：PM=PN，120°．利用三角形的中位線定理即可解決問題；

（2）①如圖2中，連接BD、EC．證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=EC，再利用三角形中位線定理即可解決問題；

②利用三角形的外角以及平行線的性質即可解決問題；

（3）①由（2）可知：△PMN是等腰直角三角形；

②因為PM=PN=BD，推出BD最大時，PM最大，△PMN面積最大．

（1）結論：PM=PN，120°．

理由：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，

∵AD=AE，

∴BD=EC，

∵點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，

∴PM=EC，PN=BD，PM∥AC，PN∥AB，

∴PM=PN，∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠B=60°，

∵∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠PNC=120°，

故答案為PM=PN，120°；

（2）如圖2中，連接BD、EC，

①∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∵BA=CA，DA=EA，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，

∴PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，

∴PN=PM，

∴△PMN是等腰三角形；

②∵PN∥BD，PM∥EC，

∴∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°；

（3）①△PMN是等腰直角三角形；

②∵PM=PN=BD，

∴BD最大時，PM最大，△PMN面積最大，

∴點D在BA的延長線上，

∴BD=AB+AD=16，∴PM=8，∴S△PMN最大=PM2=×82=32．