Question

【題目】如圖，在直角坐標平面中，O為原點，點A的坐標為（20，0），點B在第一象限內，BO=10，sin∠BOA= ．
（1）在圖中，求作△ABO的外接圓（尺規作圖，不寫作法但需保留作圖痕跡）；
（2）求點B的坐標與cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不變，將點B沿x軸向右平移使得△ABO為等腰三角形，請求出平移后點B的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）解：如圖，作BH⊥OA，垂足為H，

在Rt△OHB中，∵BO=10，sin∠BOA= ，

∴BH=6，

∴OH=8，∴點B的坐標為（8，6），

∵OA=20，OH=8，∴AH=12，

在Rt△AHB中，∵BH=6，

∴AB= =6

∴cos∠BAO=

（3）解：①當BO=AB時，∵AO=20，∴OH=10，

∴點B沿x軸正半軸方向平移2個單位，

②當AO=AB′時，∵AO=20，∴AB′=20，

過B′作B′N⊥x軸，

∵點B的坐標為（8，6），

∴B′N=6，∴AN= =2 ．

∴點B沿x軸正半軸方向平移（2 +12）個單位，

③當AO=OB″時，

∵AO=20，

∴OB″=20，

過B″作B″P⊥x軸．

∵B的坐標為（8，6），

∴B″P=6，

∴OP= =2 ，

∴點B沿x軸正半軸方向平移（2 ﹣8）個單位，

綜上所述當點B沿x軸正半軸方向平移2個單位、（2 +12）個單位，或（2 ﹣8）個單位時，△ABO為等腰三角形

【解析】（1）作OB，AB的垂直平分線交于一點M，以點M為圓心，MA為半徑畫圓，則圓M即為所求；（2）如圖，作BH⊥OA，垂足為H，在Rt△OHB中，由BO=10，sin∠BOA= ，得到BH=6，OH=8，求出點B的坐標為（8，6），根據OA=20，OH=8，求出AH=12，在Rt△AHB中，由BH=6，得到AB= =6 ，求出cos∠BAO= ；（3）①當BO=AB時，由AO=20，得到OH=10，點B沿x軸正半軸方向平移2個單位；②當AO=AB′時，由AO=20，得到AB′=20，過B′作B′N⊥x軸，由點B的坐標為（8，6），得到B′N=6，AN= =2 ．求得點B沿x軸正半軸方向平移（2 +12）個單位，③當AO=OB″時，由AO=20，得到OB″=20，過B″作B″P⊥x軸．由B的坐標為（8，6），得到B″P=6，OP= =2 ，點B沿x軸正半軸方向平移（2 ﹣8）個單位．