Question

【題目】如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，D為△ABC內一點，連接AD，將線段AD繞點A旋轉至AE，使得∠DAE＝∠BAC，F，G，H分別為BC，CD，DE的中點，連接BD，CE，GF，GH．

（1）求證：GH＝GF；

（2）試說明∠FGH與∠BAC互補．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）說明見解析.

【解析】

（1）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進而利用三角形中位線定理得出GH=GF；

（2）利用全等三角形的性質結合平行線的性質得出∠FGH=∠DGF+∠HGD進而得出答案．

（1）∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∵F，G，H分別為BC，CD，DE的中點，

∴HG∥CE，GF∥BD，且GH＝CE，GF＝BD，

∴GH＝GF；

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵HG∥CE，GF∥BD，

∴∠HGD＝∠ECD，∠GFC＝∠DBC，

∴∠HGD＝∠ACD+∠ECA＝∠ACD+∠ABD，

∠DGF＝∠GFC+∠GCF＝∠DBC+∠GCF，

∴∠FGH＝∠DGF+∠HGD

＝∠DBC+∠GCF+∠ACD+∠ABD

＝∠ABC+∠ACB

＝180°﹣∠BAC，

∴∠FGH與∠BAC互補．