Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）求證：△PCF是等腰三角形；

（3）若AF=6，EF=2，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）4

【解析】

（1）根據切線的性質得OC⊥AD，而AD⊥DP，則肯定判斷OC∥AD，根據平行線的性質得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；

（2）根據圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，則∠BCE=45°，再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，則∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根據切線的性質得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根據等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判斷△PCF是等腰三角形；

（3）連結OE．由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據角平分線的定義得到∠BCE=45°，設⊙O的半徑為r，則OF=6-r，根據勾股定理列方程即可得到結論．

（1）證明：∵PD為⊙O的切線，

∴OC⊥DP，

∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OAC=∠DAC，

∴AC平分∠DAB；

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=45°，

∴∠BOE=2∠BCE=90°，

∴∠OFE+∠OEF=90°，

而∠OFE=∠CFP，

∴∠CFP+∠OEF=90°，

∵OC⊥PD，

∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，

而∠OCF=∠OEF，

∴∠PCF=∠CFP，

∴△PCF是等腰三角形；

（3）解：連結OE．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，

∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，

設⊙O的半徑為r，則OF=6-r，

在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，

∴r2+（6-r）2=（2）2，

解得，r1=4，r2=2，

當r1=4時，OF=6-r=2（符合題意），

當r2=2時，OF=6-r=4（不合題意，舍去），

∴⊙O的半徑r=4．