Question

【題目】已知如圖，邊長為2的正方形中，是對角線上的一個動點（與點、不重合），過點作，交射線于點，過點作，垂足為點.

（1）求證：：

（2）在點的運動過程中，的長度是否發生變化？若不變，試求出這個不變的值，寫出解答過程：若變化，試說明理由：

（3）在點的運動過程中，能否為等腰三角形？如果能，直接寫出此時的長；如果不能，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的長度不變，值為，見解析；（3）能，的長為2．

【解析】

（1）過點作于，過點作于，根據正方形的性質證明，即可求解；

（2）連接，證明，得到；

（3）根據題意分①若點在線段上②若點在線段的延長線上，分別求解即可.

解：（1）證明：過點作于，過點作于，如圖1．

∵四邊形是正方形，，，

∴．

∴，．

∵即，

∴．

在和中，

．

∴，

∴．

（2）連接，如圖2．

∵四邊形是正方形，∴．

∵即，

∴．

∵即，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴．

∵，∴，

∴．

∴點在運動過程中，的長度不變，值為．

（3）的長為2．

①若點在線段上，如圖1．

∵，∴．

∵，∴．

若為等腰三角形，則．

∴，

∴，與矛盾，

∴當點在線段上時，不可能是等腰三角形．

②若點在線段的延長線上，如圖4．

若是等腰三角形，

∵，

∴，

∴．

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∴．

∴的長為2．