Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，垂足為點D．點P，Q分別從B，C兩點同時出發，其中點P從點B開始沿BC邊向點C運動，速度為1cm/s，點Q從點C開始沿CA邊向點A運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s）．
（1）當x為何值時，將△PCQ沿直線PQ翻折180°，使C點落到C'點，得到的四邊形CQC'P是菱形？
（2）設△PQD的面積為y（cm²），當0＜x＜6.5時，求y與x的函數關系式．
（3）當0＜x＜5時，是否存在x，使得△PDM與△MDQ（M為PQ與AD的交點）的面積比為3：5，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先表示PC、CQ，只有當PC=CQ時，四邊形CQC'P是菱形，列方程求x即可；
（2）過點Q作QE⊥BC，根據①0＜x＜5，②5＜x＜6.5，分類列出函數關系式；
（3）存在．過點Q作QF⊥AD，垂足為F，根據等高的兩個三角形的面積比得S_△PDM：S_△DQM=PM：QM，由FQ∥PD，得PM：QM=PD：QF，把相關線段用x表示，列方程求x即可．

解答：解：（1）PC=10-x，CQ=2x要使四邊形CQC'P是菱形，
則PC=CQ即10-x=2x．解得x=

10

3

．∴當x=

10

3

時，
四邊形CQC'P是菱形；

（2）過點Q作QE⊥BC，垂足為E，

∵AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，
∴由勾股定理可得AD=12cm．
①當0＜x＜5時，∵QE∥AD∴△QEC∽△ADC，
∴

QE

AD

=

CQ

CA

即

QE

12

=

2x

13

．解得QE=

24

13

x，又PD=5-x，
∴y=

1

2

PD•QE．即y=-

12

13

x2+

60

13

x，
②當5＜x＜6.5時，y=

1

2

PD•QE.y=

12

13

x2-

60

13

x；

（3）當0＜x＜5時，PQ與AD交于M，存在符合條件的x．
理由如下：過點Q作QF⊥AD，垂足為F，
∵FQ∥PD，
∴S_△PDM：S_△DQM=PM：QM=PD：QF=3：5，
在Rt△QEC中，EC=CQ•cos∠ACD=

10

13

x，QF=DE=DC-EC=5-

10

13

x，PD=5-x，
∴

5-x

5- 10 13 x

=

3

5

，
解得x=

26

7

，
∴當x=

26

7

時，△PDM與△MDQ的面積比為3：5

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，菱形的性質，翻折問題，勾股定理的運用．關鍵是根據圖形特點作輔助線，構造三角形相似．