Question

【題目】已知：拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+3經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)

（1）填空：b＝　 　（用含有a的代數(shù)式表示）；

（2）若a＝﹣1

①點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P，使△PCB面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)m≤x≤m+3時(shí)，y的取值范圍是2m≤y≤4，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣3a﹣1；（2）①P（ ，）；②m的值為0或﹣．

【解析】

（1）直線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，先求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再帶入拋物線解析式中求出表達(dá)式，然后再得到結(jié)果（2）若a=-1時(shí)，先寫(xiě)出拋物線解析式，然后根據(jù)條件求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)已知的m的范圍，對(duì)照函數(shù)圖象，求出m的值.

解：（1）直線y＝﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，

∴B（3，0）、C（0，3），

∵拋物線過(guò)B（3，0）、C（0，3），

∴解得：b＝﹣3a﹣1，

故答案為﹣3a﹣1．

（2）若a＝﹣1，則拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

①假設(shè)存在點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3）使得△PCB的面積最大，

∴M（x，﹣x+3），

∴PM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，

∵S△ABP＝S△PMC+S△PMB＝PMOB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x2﹣3x）

＝﹣（x﹣）2+，

當(dāng)點(diǎn)P（，）在第一象限，此時(shí)△PBC的面積最大，

故存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（ ，），△PBC的面積最大．

②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，有最大值4，

∴由題意可知m≤1，m+3≥1

當(dāng)m＝﹣是x＝m和m+3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，

當(dāng)﹣＜m＜1時(shí)，2m＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3，

解得m1＝0，m2＝﹣6（不合題意舍去），

當(dāng)﹣2＜m＜﹣時(shí)，﹣m2+2m+3＝2m，

∴m＝（舍）或m＝﹣

故m的值為0或﹣．