Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

（3）設（1）中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=8，并求出此時P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3 頂點是（1,-4）；（2）直角三角形；（3）點P在該拋物線上滑動至（，4）或（，4）或（1，-4）時，滿足S⊿PAB=8.

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C、三點坐標代入求出a、b、c的值即可得答案.（2）過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，根據B、C、D三點的坐標可求出BD、CD、BC的長，根據三邊的長即可判斷△BCD的形狀.（3）設P的縱坐標為，利用三角形面積可求出P點的縱坐標，代入解析式可求出橫坐標即可.

（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c

∴依題意得： 解得

∴拋物線解析式為：y=x2-2x-3 頂點是（1,-4）

（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形。

過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F

在Rt⊿BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=18

在Rt⊿CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1

CD2=2

在Rt⊿BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴BD2=20

∴BC2+CD2=BD2，故⊿BCD為直角三角形。

（3）設P的縱坐標為

∵S⊿PAB=8

∴AB·=8

∵AB=3+1=4

∴=4

∴yp=

把yp=4代入解析式得4=x2-2x-3，解得：x=

把yp=-4代入解析式得-4=x2-2x-3，解得：x=1

∴點P在該拋物線上滑動至（，4）或（，4）或（1，-4）時，滿足S⊿PAB=8