Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，連接、，已知點A、C的坐標為、．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是線段下方拋物線上的一動點，如果在x軸上存在點Q，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q的坐標；

（3）如圖2，若點M是內一動點，且滿足，過點M作，垂足為N，設的內心為I，試求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）Q的坐標為或；（3）的最小值為

【解析】

（1）待定系數法求解析式；

（2）根據即點C坐標，可以求出P點坐標，算出CP長，即可寫出Q點坐標;

（3）利用可判斷出I的運動軌跡是圓弧，設I運動軌跡所在的圓心為G

計算出圓心G的坐標及半徑為，當G、I、C三點共線時候最短.

（1）由題意得：A點坐標為，C點坐標為帶入中

得：，

解得：

∴拋物線的解析式為．

（2）∵點Q在x軸上，又點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形

∴，由對稱性可知，P點的坐標為

∴，∴．

∴Q的坐標為或．

（3）連接，，

∵I為的內心

∴、分別平分，

∴

又∵，∴

∴．

又∵，

∴

∴

∴I的運動軌跡是圓弧．

設I運動軌跡所在的圓心為G

∵，∴

又∵，

∴圓心G的坐標為，半徑為

當G、I、C三點共線時候最短

∵，

∴的最小值為

綜上所述：的最小值為．