Question

【題目】問題提出：

（1）如圖①，半圓O的直徑AB=10，點P是半圓O上的一個動點，則△PAB的面積最大值是　　　　．

問題探究：

（2）如圖②，在邊長為10的正方形ABCD中，點G是BC邊的中點，E、F分別是AD和CD邊上的點，請探究并求出四邊形BEFG的周長的最小值．

問題解決：

（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四邊形ABCD的周長是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）25；（2）四邊形BEFG的周長的最小值為30；（3）四邊形ABCD的周長最大值為12+4．

【解析】

（1）如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O=r=5，求出此時△P'AB的面積即可；

（2）如圖2，作點G關于CD的對稱點G′，作點B關于AD的對稱點B′，連接B′G′，B′E，FG′，根據兩點之間線段最短即可解決問題；

（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點，使得DM＝DC，首先證明AC＝CD＋CB，再證明當AC為△ABC的外接圓的直徑時，四邊形ABCD的周長最大．

（1）如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O=r=5，

此時△PAB的面積最大值，

∴S△P'AB10×5=25，

故答案為：25；

（2）如圖2，作點G關于CD的對稱點G'，作點B關于AD的對稱點B'，連接B'G'，B'E，FG'，

∵EB=EB'，FG=FG'，

∴BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG，

∵EB'+EF+FG'≥B'G'，

∴四邊形BEFG的周長的最小值=BG+B'G'，

∵BGBC=5，BB'=20，BG'=15，

∴B'G'25，

∴四邊形BEFG的周長的最小值為30；

（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點，使得DM=DC，

∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，

∴∠DAB+∠DCB=180°，

∴A、B、C、D四點共圓，

∵AD=AB，∠DAB=60°，

∴△ADB是等邊三角形，

∴∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠ACD=∠ADB=60°，

∵DM=DC，

∴△DMC是等邊三角形，

∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，

∴∠ADM=∠BDC，

∵AD=BD，

∴△ADM≌△BDC(SAS)，

∴AM=BC，

∴AC=AM+MC=BC+CD，

∵四邊形ABCD的周長=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，

∵AD=AB=6，

∴當AC最大時，四邊形ABCD的周長最大，

∴當AC為△ABC的外接圓的直徑時，四邊形ABCD的周長最大，

∵，

∴AC的最大值=4，

∴四邊形ABCD的周長最大值為12+4．