Question

【題目】如圖，拋物線經過A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三點．

(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)點P為(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).

【解析】

（1）用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似，分兩種情況討論計算即可.

解：(1)∵該拋物線過點C(0，－2)，

∴可設該拋物線的解析式為y＝ax2＋bx－2.

將A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，

∴此拋物線的解析式為.

(2)存在，

設P點的橫坐標為m，則P點的縱坐標為－m2＋m－2，

當1＜m＜4時，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，

∴①當＝＝時，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．

解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．

　②當＝＝時，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.

解得m1＝4，m2＝5(均不合題意，舍去)，∴當1＜m＜4時，P(2，1)．

類似地可求出當m＞4時，P(5，－2)．

當m＜1時，P(－3，－14)或P(0，－2)，

綜上所述，符合條件的點P為(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).