Question

設a是正整數，二次函數y=x²+（a+17）x+38-a，反比例函數y=

56

x

，如果兩個函數的圖象的交點都是整點（橫坐標和縱坐標都是整數的點），求a的值．

Answer 1

分析：先聯立兩方程，得到關于x的一元二次方程，把此方程分解為兩個因式積的形式，再根據一元二次方程根的判別式即可求解．

解答：解：聯立方程組

y=x2+(a+17)x+38-a y= 56 x

消去y得，x²+（a+17）x+38-a=

56

x

，
即x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
當x=1時，x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
∴式子x³+（a+17）x²+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x²+（a+18）x+56]=0，（1）
顯然x₁=1是方程（1）的一個根，（1，56）是兩個函數的圖象的一個交點．
因為a是正整數，所以關于x的方程x²+（a+18）x+56=0，（2）
其判別式△=（a+18）²-224＞0，它一定有兩個不同的實數根．
而兩個函數的圖象的交點都是整點，所以方程（2）的根都是整數，
因此它的判別式△=（a+18）²-224應該是一個完全平方數．
設（a+18）²-224=k²（其中k為非負整數），則（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以

a+18+k=112 a+18-k=2

或

a+18+k=56 a+18-k=4

或

a+18+k=28 a+18-k=8

解得

a=39 k=55

或

a=12 k=26

或

a=0 k=10

而a是正整數，所以只可能

a=39 k=55

或

a=12 k=26.

．
故答案為：a=39或a=12．

點評：本題考查的是二次函數與反比例函數的交點問題、根的判別式、整數的奇偶性，涉及面較廣，難度較大．