Question

有10位乒乓球選手進行單循環賽(每兩人間均賽一場)，用x₁,y₁順次表示第1號選手勝與負的場數，用x₂,y₂順次表示第2號選手勝與負的場數，……用x₁₀,y₁₀順次表示第10號選手勝與負的場數.則10名選手勝的場數的平方和與他們負的場數的平方和相等，即

x₁²+x₂²+…+x₁₀²=y₁²+y₂²+…+y₁₀²,為什么？

Answer 1

由題意知x_i+y_i=9(i=1、2、3、…10)且x₁+x₂+…+x₁₀=y₁+y₂+…+y₁₀

(x₁²+x₂²+…+x₁₀²)－(y₁²+y₂²+…+y₁₀²)

=(x₁²－y₁²)+(x₂²－y₂²)+…+(x₁0²－y₁₀²)

=(x₁+y₁)(x₁－y₁)+(x₂+y₂)(x₂－y₂)+…+(x₁₀+y₁₀)(x₁₀－y₁₀)

=9［(x₁－y₁)+(x₂－y₂)+(x₃－y₃)+…+(x₁₀－y₁₀)］

=9［(x₁+x₂+…+x₁₀)－(y₁+y₂+…+y₁₀)］

=0

所以，x₁²+x₂²+…+x₁₀²=y₁²+y₂²+…+y₁₀².