Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣4ax+c與直線y=kx+1（k≠0）交于y軸上一點A和第一象限內一點B，該拋物線頂點H的縱坐標為5．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AH、BH，拋物線的對稱軸與直線y=kx+1（k≠0）交于點K，若S△AHB=，求k的值；

（3）在（2）的條件下，點P是直線AB上方的拋物線上的一動點（如圖2），連接PA．當∠PAB=45°時，

ⅰ）求點P的坐標；

ⅱ）已知點M在拋物線上，點N在x軸上，當四邊形PBMN為平行四邊形時，請求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+5；（2）k=；（3）ⅰ）P（1，4），ⅱ）M（﹣，﹣）

【解析】

（1）拋物線與直線交于y軸上一點A，可求c=1，根據頂點縱坐標為5，可求，即可求拋物線解析式．

（2）由 將線段的長代入可求k的值

（3）ⅰ）如圖：將AB繞B點順時針旋轉90°到BC位置，過B點作BD⊥x軸，過點C點作CD⊥BD于D，過A點作AE⊥BD于E，可證△ABE≌△BCD，可得C點坐標，即可求AC解析式，由點P是直線AC與拋物線的交點可求P點坐標．

ⅱ）四邊形PBMN為平行四邊形，可得 根據中點坐標公式可求M的橫坐標，代入拋物線可求M的坐標．

（1）∵拋物線 與直線交于y軸上一點A

∴ 即c=1

∵拋物線

∴頂點坐標為，

∴

∴

∴拋物線解析式

（2）∵拋物線與直線相交

∴

∴

∴B點橫坐標為

∵點B在第一象限

∴即

∵

∴

解得：（不合題意舍去）

（3）ⅰ）如圖：將AB繞B點順時針旋轉90°到BC位置，過B點作BD⊥x軸，過點C點作CD⊥BD于D，過A點作AE⊥BD于E

∵

∴

∵

∴

∵旋轉

∴

∴

且

∴且

∴≌

∴

∴

設AC解析式

∴=b+1

∴b=3

∴AC解析式

∵P是直線AC與拋物線的交點

∴

∴

∴

ⅱ）如圖2：設PN與BM的交點為H

∵四邊形PBMN為平行四邊形

∴

∵P的橫坐標為1，N的橫坐標為2．

∴H的橫坐標為

∵B的橫坐標為

∴M的橫坐標為

∴

∴