Question

【題目】如圖所示，CD為⊙O的直徑，AD，AB，EC分別與⊙O相切于點D，E，C（AD＜BC），連接DE并延長與與直線BC相交于點P，連接OB．

（1）求證：BC=BP；

（2）若DEOB=40，求ADBC的值；

（3）在（2）條件下，若S△ADE：S△PBE=16：25，求S△ADE和S△PBE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20；（3）.

【解析】

（1）連接EC，根據切線長定理可得BC=BE，再證得BE=BP，即可證得結論；（2）如圖2中，連接OA、CE，EC交OB于K．先證明△OCK∽△OBC，可得OC2=OKOB=DEOB=20，再證明△ADO∽△OCB，可得ADBC=ODOC=OC=20；（3）由△ADE∽△BPE，可得，設DE=4k，PE=5k，由△CDE∽△PDC，可得CD2=DEDP，即80=36k2，推出k=，求出△PEC的面積即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，連接EC．

∵BC、BE是⊙O的切線，

∴BC=BE，

∴∠BCE=∠BEC，

∵CD是直徑，

∴∠CED=∠CEB=90°，

∴∠ECB+∠P=90°，∠CEB+∠CEB+∠PEB=90°，

∴∠P=∠PEB，

∴BE=PB，

∴BC=BP．

（2）解：如圖2中，連接OA、CE，EC交OB于K．

∵BC=BE，OC=OE，

∴OB垂直平分線段EC，

∴∠OKC=∠OCB=90°，CK=EK，

∵OC=OD，

∴OK=DE，

∵△OCK∽△OBC，

∴OC2=OKOB=DEOB=20，

∵AD、AE是切線，

∴AD=AE，∵OD=OE，OA=OA，

∴△AOD≌△AOE，

∴∠AOD=∠AOE，同法證明，∠BOE=∠BOC，

∴∠AOB=90°，

∵∠AOD+∠BOC=90°，∠BOC+∠CBO=90°，

∴∠AOD=∠CBO，

∵∠ADO=∠BCO=90°，

∴△ADO∽△OCB，

∴ADBC=ODOC=OC2=20．

（3）如圖2中，∵S△ADE：S△PBE=16：25，AD∥PB，

∴△ADE∽△BPE，

∴=，設DE=4k，PE=5k，

∵△CDE∽△PDC，

∴CD2=DEDP，

∴80=36k2，

∴k=，

∴DE=，PE=，EC=，

∴S△ECP=ECPE=，∵BC=BP，

∴S△PEB=S△PEC=，

∴S△ADE=S△PEB=．