Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于點F，且DA=DC，連接AC，AD，延長AD交BM于點E．

（1）求證：△ACD是等邊三角形；

（2）若AC=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為1．

【解析】

（1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是 O的直徑，根據(jù)垂徑定理得到=,于是得到AD=AC，然后根據(jù)已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可證明△ACD是等邊三角形；
（2）過O作ON⊥AC于N，由垂徑定理得到，由（1）知，△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CAB=30°，于是得到結(jié)論．

（1）證明：∵BM⊥AB，CD∥BM，

∴AB⊥CD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴=,

∴AD=AC，

∵DA=DC，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：過O作ON⊥AC于N，

則

由（1）知，△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°．

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠CAB=30°，

∴

∴⊙O的半徑為1．