Question

【題目】九年級數學興趣小組經過市場調查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數）的售價y（單位：元/件）與時間x（單位：天）的函數關系式為y=；在第x天的銷售量p（單位：件）與時間x（單位：天）的函數關系的相關信息如下表．已知商品的進價為30元/件，每天的銷售利潤為w（單位：元）．

時間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w與x的函數關系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）6050元；（3）5600元．

【解析】（1）根據單價乘以數量，可得利潤，可得答案；

（2）根據分段函數的性質，可分別得出最大值，根據有理數的比較，可得答案；

（3）根據二次函數值大于或等于5600，一次函數值大于或等于56000，可得不等式，根據解不等式組，可得答案．

解：（1）設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n

∵p=mx+n過點（60，80）、（30，140），∴，解得：，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x為整數），

當0≤x≤50時，w=（y﹣30）p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

當50＜x≤90時，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是

w=．

（2）當0≤x≤50時，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴當x=45時，w取最大值，最大值為6050元．

當50＜x≤90時，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小，

∴當x=50時，w取最大值，最大值為6000元．∵6050＞6000，

∴當x=45時，w最大，最大值為6050元．

即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元．

（3）當0≤x≤50時，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天）；

當50＜x≤90時，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，

解得：50＜x≤53，∵x為整數，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．

綜上可知：21+3=24（天），

故該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元．