Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O分別切AB于M，BC于N，連接BO、CO，BO＝CO．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）連接MC，若，求sin∠B的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接NO，過點O作OE⊥AC于點E，由 可得∠ABC=∠ACB，結合，證明利用角平分線的性質可得NO=EO，則結論得證；

（2）過點M作MF⊥BC于點F，連結OM，ON，證得BM=BN=BC，設BC=a，CF=b，則MF=b，BF=a-b，BM=a，可得，解方程得b=，可求出答案．

（1）證明：如圖1，連接NO，過點O作OE⊥AC于點E，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵⊙O分別切AB于M，BC于N，

∠ABO＝∠CBO，

∴

∵ON⊥BC，OE⊥AC，

∴NO＝EO，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，過點M作MF⊥BC于點F，連結OM，ON，

∵OM＝ON，OB＝OB，

∴Rt△BOM≌Rt△BON（HL），

∴BM＝BN，

∵OB＝OC，ON⊥BC，

∴BN＝CN＝BC，

∴

∵

∴，

∴，

設BC＝a，CF＝b，則MF＝，BF＝a﹣b，BM＝，

∵

∴，

解得b＝或b＝a（舍去）．

∴