Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，A是x軸負半軸上一定點，一動點B從原點出發，沿y軸正半軸運動，以B為直角頂點，作等腰直角三角形△ABC．

（1） 若B點 運動2秒鐘，C點坐標為（2，-2），求A點的坐標；

（2） 如圖，B點從（1）中的位置出發保持運動速度不變，再運動2秒鐘．E在原B點上，連AE，OD⊥AE，交x軸的平行線DB于D點，求D點坐標

（3） 點B從（2）的位置出發繼續運動，如圖AC交y軸于M，MN⊥y軸，且BM=MN，連CN，試問：AB和CN是否有某種確定的位置關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）A（－4，0）；（2）D（－2，4）；（3）AB∥NC．

【解析】

（1）過C作CD⊥y軸于D，通過證明△AOB≌△BDC，得到OB=CD，AO=BD．由C點坐標，得到CD=2，OD=2，即可得出結論．

（2）由（1）得到OA，OE的長，進而得到OA=BO．通過證明△AOE≌OBD，得到OE=BD=2，即可得出結論．

（3）過B作BH⊥AC于H，過N作NG⊥AC于G，可證明△BHM≌△MGN，得到BH=MG，MH=NG，再證明MH=GC，等量代換得到GN=GC，則△CGN是等腰直角三角形，則有∠NCG=∠BAC，即可得出結論．

（1）如圖1，過C作CD⊥y軸于D，∴∠DBC+∠BCD=90°．

∵等腰直角三角形△ABC，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠BCD．

∵∠AOB=∠BDC=90°，∴△AOB≌△BDC，∴OB=CD，AO=BD．

∵C點坐標為（2，-2），∴CD=2，OD=2，∴AO=BD=BO+OD=CD+OD=2+2=4，∴A（－4，0）．

（2）由（1）可知：OA=4，OE=BE=2，∴OB=4，∴OA=BO．

∵OD⊥AE，∴∠EAO+∠AOD=90°．

∵∠AOD+∠DOB=90°，∴∠EAO=∠DOB．

∵DB∥x軸，∴∠DBO=∠EOA=90°．

在△AOE和△OBD中，∵∠EAO=∠DOB，OA=BO，∠AOE=∠OBD=90°，∴△AOE≌OBD，∴OE=BD=2，∴D（－2，4）．

（3） AB∥NC．理由如下：

過B作BH⊥AC于H，過N作NG⊥AC于G，∴∠BHM=∠MGN=90°，∠HBM+∠BMH=90°．

∵MN⊥y軸，∴∠BMH+∠NMG=90°，∴∠HBM=∠GMN．

在△BHM和△MGN中，∵∠HBM=∠GMN，∠BHM=∠MGN，BM=MN，∴△BHM≌△MGN，∴BH=MG，MH=NG．

∵△ABC是等腰直角三角形，BH⊥AC，∴∠BAC=45°，BH=HC，∴MG=HC，∴MH+HG=HG+GC，∴MH=GC，∴GN=GC，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠NCG=45°，∴∠NCG=∠BAC，∴AB∥NC．