Question

【題目】已知:直線經過點A(-5.-6)且與直線: y=-x+6平行,直線與x軸、y軸分別交于點B，C

(1)求直線的表達式及其與x軸的交點D的坐標:

(2)判斷四邊形ABCD是什么四邊形?并證明你的結論:

(3)若點E是直線AB上一點,平面內存在一點F,使得四邊形CBEF是正方形,求點E的坐標. 請直接寫出答案.

Answer 1

【答案】（1）直線l1的表達式：y＝x，D的坐標為：（9，0）；（2）四邊形ABCD是矩形，證明見解析；（3）E1（2，4），E2（10，4）.

【解析】

（1）根據直線l1與直線平行，可設直線l1的表達式為：y＝x＋b，代入A（5，6）求出直線l1的表達式和點D的坐標即可；

（2）首先根據題意求出點B、C的坐標，利用兩點間距離公式求出AD，BC，AB，BD，根據AD＝BC，AD∥BC先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再利用勾股定理逆定理證明∠DAB＝90°即可；

（3）求出直線AB的解析式，根據正方形的性質可得EB＝BC＝，根據兩點間距離公式列方程求解，即可得到相應的點E的坐標．

解：（1）設直線l1的表達式為：y＝x＋b，

∵直線l1經過點A（5，6），

∴6＝×（5）＋b，解得b＝，

即直線l1的表達式是y＝x，

當y＝0時，0＝x，解得x＝9，

即點D的坐標為（9，0）；

（2）四邊形ABCD是矩形，

證明：∵直線l2：y＝x＋6，直線l2與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，

∴點B（4，0），點C（0，6），

∵點A（5，6），點D（9，0），

∴AD＝，BC＝，

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB＝，BD＝4（9）＝13，AD＝，

∴AB2＋AD2＝()2＋()2＝132＝BD2，

∴∠DAB＝90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

（3）E1（2，4），E2（10，4），

∵點A（5，6），點B（4，0），

設直線A、B的解析式為y＝kx＋b，

則，解得：，

即直線AB的解析式為y＝x，

∵點E在直線AB上，

∴設點E的坐標為（a，a），

∵四邊形CBEF是正方形，點B（4，0），點C（0，6），

∴EB＝BC＝，

∴，

解得：a＝2或a＝10，

當a＝2時，a＝-4，

當a＝10時，a＝4，

∴點E1（2，4），E2（10，4）．