Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論： ①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=28.8． 其中正確結論的個數是（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

由正方形的性質和折疊的性質得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL證明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正確；

設BG=FG=x，則CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正確；

由全等三角形的性質和三角形內角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正確；

通過計算三角形的面積得出④錯誤；即可得出結果．

①正確．理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折疊的性質得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；

②正確．理由如下：

由題意得：EF=DE=CD=4，設BG=FG=x，則CG=12﹣x．

在直角△ECG中，根據勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；

③正確．理由如下：

∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；

④錯誤．理由如下：

∵S△GCE=GCCE=×6×8=24．

∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=×24=≠28.8．

故④不正確，∴正確的有①②③．

故選B．