Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC．給出下列結論：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正確的結論是_____．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①連接EG．根據等角的余角相等即可得到結果，故①正確；②由BE、AG分別是∠ABC、∠DAC的平分線．得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEG=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEF，根據等腰三角形的性質可得②正確；③如果∠EBC=∠C，則∠C=∠ABC，由于∠BAC=90°那么∠C=30°，但∠C≠30°，故③錯誤；④證明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，證出四邊形AFGE是平行四邊形，得到GF∥AE，故④正確；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等邊三角形，得到EF≠AE，于是EF≠FG，故⑤錯誤．

①連接EG.

∵∠BAC=90°,AD⊥BC.

∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°.

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正確；

②∵BE、AG分別是∠ABC、∠DAC的平分線，

∴∠ABF=∠EBD.

∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEG=∠C+∠EBD，

∴∠AFE=∠AEF.

∴AF=AE，故②正確；

③如果∠EBC=∠C,則∠C=∠ABC，

∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°,但∠C≠30°，故③錯誤；

④∵AG是∠DAC的平分線，

∴AN⊥BE，FN=EN，

在△ABN與△GBN中,∵

∴△ABN≌△GBN.

∴AN=GN.

∴四邊形AFGE是平行四邊形.

∴GF∥AE.

即GF∥AC.故④正確；

⑤∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不是等邊三角形，

∴EF≠AE.

∴EF≠FG，故⑤錯誤.

故答案為：①②④.