Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，對角線AC、BD相交于點O．過點O作一直角∠MON，直角邊OM、ON分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MON，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是________(填序號)．

①；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：2；③；④OGBD=AE2+CF2；⑤在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①②③證明△BOE≌△COF，結合正方形的性質可判斷；④證明，結合△BOE≌△COF的性質即可證得；⑤作OH⊥BC，表示出S△BEF+S△COF，即可判斷．

①∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=OE；故①正確；

②∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，

∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故②錯誤；

③∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故③正確；

④∵

∴

∴

∴

∵

∴

∵在中，

∴

∴，故④正確；

⑤過點O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴OH=BC=，

設AE=，則BE=CF=1-，BF=，

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=（1-）+（1-）×=-（-）2+，

∵＜0，

∴當=時，S△BEF+S△COF最大；

即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；故⑤錯誤；

故答案為①③④．