Question

【題目】已知△ABC內接于⊙O ， AC是⊙O的直徑，D是弧AB的中點．過點D作CB的垂線，分別交CB、CA延長線于點F、E ．

（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CF＝6，∠ACB＝60°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直線EF與⊙O相切，理由為：

連接OD，如圖所示：

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠CBA=90°

又∵∠F=90°

∴∠CBA=∠F

∴AB‖EF

∴∠AMO=∠EDO

又∵D為弧AB的中點

∴弧BD=弧AD

∴OD⊥AB

∴∠AMO=∠EDO=90°

∴EF為⊙O的切線

（2）

shan

解：在Rt△AEF中，∠ACB=60°

∴∠E=30°

又∵CF=6

∴CE=2CF=12

∴EF==6

在Rt△ODE中，∠E=30°

∴OD=OE

又∵OA=OE

∴OA=AE=OC=CE=4,OE=8

又∵∠ODE=∠F=90°,∠E=∠E

∴△ODE∽△CFE

∴,即

∴DE=4

又∵Rt△ODE中，∠E=30°

∴∠DOE=60°

∴ S陰影=S扇形OAD=×4×4-=8-

【解析】：（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥AB即可。
（2）先根據勾股定理求出EF的長，再根據相似三角形的判定和性質求出DE，陰影部分的面積等于△ODE的面積減去扇形OAD的面積即可。
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)，還要掌握扇形面積計算公式(在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）)的相關知識才是答題的關鍵．