Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD為菱形，E為對角線AC上的一個動點，連接DE并延長交射線AB于點F，連接BE．
（1）求證：∠F=∠EBC；
（2）若∠DAB=90°，當△BEF為等腰三角形時，求∠F的度數（如圖2）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠CDE=∠CBE，

∵CD∥AB，

∴∠CDE=∠AFD，

∴∠EBC=∠AFD，即∠F=∠EBC；

（2）解：分兩種情況：

①如圖1，當F在AB延長線上時，

∵∠EBF為鈍角，

∴只能是BE=BF，

設∠BEF=∠BFE=x°，

可通過三角形內角形為180°得：90+x+x+x=180，

解得：x=30，

∴∠EFB=30°；

②如圖2，當F在線段AB上時，

∵∠EFB為鈍角，

∴只能是FE=FB，設∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，

可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，

得x+2x=90，

解得：x=30，

∴∠EFB=120°．

綜上：∠F=30°或120°．

【解析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；（2）利用正方形的性質結合等腰三角形的性質得出：①當F在AB延長線上時；②當F在線段AB上時；分別求出即可．