Question

【題目】
（1）將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示． 觀察圖2可知：與BC相等的線段是 ， ∠CAC′=°．

（2）①如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論． 拓展延伸

②如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）AD；90
（2）解：（2）①FQ=EP，

理由如下：

∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

∴△AFQ≌△CAG，

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP．

②HE=HF．

理由：過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q．

∵四邊形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA．

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA．

∵AB=kAE，AC=kAF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ．

∴EP=FQ．

又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．

∴HE=HF．

【解析】解：（1）觀察圖形即可發現△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB， ∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；
故答案為：AD，90．
（1）觀察圖形即可發現△ABC≌△AC′D，即可解題；（1）①易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解題；②過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q．根據全等三角形的判定和性質即可解題．