Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣1與x軸的交點為A(﹣1，0)，B(2，0)，且與y軸交于C點.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點C關于x軸的對稱點為C1，M是線段BC1上的一個動點(不與B、C1重合)，ME⊥x軸，MF⊥y軸，垂足分別為E、F，當點M在什么位置時，矩形MFOE的面積最大？說明理由.

(3)已知點P是直線y＝x+1上的動點，點Q為拋物線上的動點，當以C、C1、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，求出相應的點P和點Q的坐標.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)點M為線段C1B中點時，S矩形MFOE最大，理由見解析；(3) 點P和點Q的坐標為P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).

【解析】

（1）將A(﹣1，0)，B(2，0)分別代入解析式即可解答

（2）令x＝0，y＝﹣1，得出C的坐標，再利用對稱軸的性質(zhì)得出C1，將B(2，0)，C1(0，1)分別代入直線C1B解析式，得出直線C1B的解析式，設M(t，)，則 E(t，0)，F(0，)，根據(jù)矩形的面積公式即可解答

（3）根據(jù)題意可分情況討論①當C1C為邊，則C1C∥PQ，C1C＝PQ，設P(m，m+1)，Q(m，)，求出m即可解答；②C1C為對角線，∵C1C與PQ互相平分，C1C的中點為(0，0)，PQ的中點為(0，0)，設P(m，m+1)，則Q(﹣m，)，求出m即可

(1)將A(﹣1，0)，B(2，0)分別代入拋物線y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：

∴該拋物線的表達式為：.

(2)在中，令x＝0，y＝﹣1，∴C(0，﹣1)

∵點C關于x軸的對稱點為C1，

∴C1(0，1)，設直線C1B解析式為y＝kx+b，將B(2，0)，C1(0，1)分別代入得，解得，

∴直線C1B解析式為，設M(t，)，則 E(t，0)，F(0，)

∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t()＝﹣(t﹣1)2+，

∵﹣＜0，

∴當t＝1時，S矩形MFOE最大值＝，此時，M(1，)；即點M為線段C1B中點時，S矩形MFOE最大.

(3)由題意，C(0，﹣1)，C1(0，1)，以C、C1、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，分以下兩種情況：

①C1C為邊，則C1C∥PQ，C1C＝PQ，設P(m，m+1)，Q(m，)，

∴|()﹣(m+1)|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0(舍)，

P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)；P3(2，2)，Q3(2，0)

②C1C為對角線，∵C1C與PQ互相平分，C1C的中點為(0，0)，

∴PQ的中點為(0，0)，設P(m，m+1)，則Q(﹣m，)

∴(m+1)+()＝0，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，

∴P4(﹣2，0)，Q4(2，0)；

綜上所述，點P和點Q的坐標為：P1(4，3)，Q1(4，5)或P2(﹣2，0)，Q2(﹣2，2)或P3(2，2)，Q3(2，0)或P4(﹣2，0)，Q4(2，0).