Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等邊三角形，則四邊形AEFD的面積S= ．

Answer 1

【答案】30
【解析】解：∵在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13， ∴BC2=AB2+AC2 ，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC與△DBF中，

∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=12，
同理可證△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=5，
∴四邊形DAEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴SAEFD=AD（DFsin30°）=5×（12× ）=30，
即四邊形AEFD的面積是30，
故答案為：30．
根據題中的等式關系可推出兩組對邊分別相等，從而可判斷四邊形AEFD為平行四邊形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，則∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四邊形的面積公式即可解答．