Question

【題目】如圖1，對△ABC，D是BC邊上一點，連結AD，當 = 時，稱AD為BC邊上的“平方比線”．同理AB和AC邊上也存在類似的“平方比線”．

（1）如圖2，△ABC中，∠BAC=RT∠，AD⊥BC于D．
證明：AD為BC邊上的“平方比線”；

（2）如圖3，在平面直角坐標系中，B（﹣4，0），C（1，0），在y軸的正半軸上找一點A，使OA是△ABC中BC邊上的“平方比線”．
①求出點A的坐標；
②如圖4，以M（ ，0）為圓心，MA為半徑作圓，在⊙M上任取一點P（與x軸交點除外）嗎，連結PB，PC，PO．求證：PO始終是△PBC中BC邊上的“平方比線”．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAC=RT∠，

∴∠B+∠C=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵∠BDA=∠BAC=90°，

∴△BAD∽△BCA，

∴ ，

∴AB2=BD×BC，

同理可得；AC2=CD×BC，

∴ ，

∴AD為BC邊上的“平方比線”

（2）解：①設A（0，m）（m＞0），

則OA=m，而OB=4，OC=1，

所以AB2=m2+16，AC2=m2+1，

∵OA為BC邊上的“平方比線”，

∴ ，

∴ ，

解得：m=2

∴A（0，2）．

②證明：連結PM，如圖4，

則PM=AM= = ，

∵MC×MB= × = =PM2，

∴ ，

∵∠PMC=∠PMB，

∴△MPC∽△MBP，

∴ =

∴

∴PO始終是BC邊上的“平方比線”

【解析】（1）根據互余判斷出∠BAD=∠C，得到△BAD∽△BCA得到AB2=BD×BC即可；（2）①設出點A坐標，根據“平方比線”建立方程即可；②先判斷出△MPC∽△MBP得到比例式，即可．