Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OC＝3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D（2，2）是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）連接AD并延長，過拋物線上一點Q（Q不與A重合）作QN⊥x軸，垂足為N，與射線交于點M，使得QM＝3MN，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在，理由見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）點A、C的坐標分別為：（-2，0）、（0，3），將點A、C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）作點D關于對稱軸的對稱軸D′（-1，2），連接BD′交拋物線對稱軸與點P，則點P為所求，即可求解；
（3）QM=|-m2+m+3-m-1|=|-m2+2|，3MN=3（m+1），QM=3MN，即|-m2+2|=3（m+1），即可求解．

解：（1）點A、C的坐標分別為：（﹣2，0）、（0，3），

將點A、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3；

（2）存在，理由：

作點D關于對稱軸的對稱軸D′（﹣1，2），連接BD′交拋物線對稱軸與點P，則點P為所求，

將點B、D′的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：

直線BD′的函數表達式為：y＝﹣x+，

拋物線的對稱軸為：x＝，當x＝時，y＝，

故點P（，）；

（3）設點N（m，0），則點M、Q的坐標分別為：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），

則QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，

3MN＝3（m+1），

∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），

解得：m＝﹣2或﹣1或5，

故點Q（﹣2，3）或（﹣1，2）或（5，﹣7）．