Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME=1，AM=2，AE=
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵ME=1，AM=2，AE= ，

∴ME2+AE2=AM2=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．

又∵MN∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．

又∵OB是⊙O的半徑，

∴BC是⊙O的切線

（2）解：如圖，連接ON．

在Rt△AEM中，sinA= = ，

∴∠A=30°．

∵AB⊥MN，

∴ = ，EN=EM=1，

∴∠BON=2∠A=60°．

在Rt△OEN中，sin∠EON= ，

∴ON= = ，

∴ 的長度是： = ．

【解析】（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證明OB⊥BC即可；（2）首先，在Rt△AEM中，根據特殊角的三角函數值求得∠A=30°； 其次，利用圓心角、弧、弦間的關系、圓周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函數的定義求得ON= = ；
最后，由弧長公式l= 計算 的長．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的逆定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．