Question

【題目】如圖l，在矩形ABCD中，BC>AB，∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F，點O是BD的中點，直線OK∥AF，交AD于點K，交BC于點G．

（1）求證：△DOK≌△BOG；

（2）求證：AB+AK=BG:

（3）如圖2，若KD=KG=2，點P是線段KD上的動點（不與點D、K重臺），PM∥DG交KG于點M，PN∥KG交DG于點N，設PD=x，S△PMN=y，求出y與x的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）先根據AAS判定△DOK≌△BOG，（2）再根據等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質，得出結論BG=AB+AK；（3）利用△DKG∽△PKM∽△DPN，由相似三角形的性質求出y與x的函數關系式．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC

∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO

∵點O是BD的中點

∴DO=BO

∴△DOK≌△BOG（AAS）

（2）∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC

又∵AF平分∠BAD

∴∠BAF=∠BFA=45°

∴AB=BF

∵OK∥AF，AK∥FG

∴四邊形AFGK是平行四邊形

∴AK=FG

∵BG=BF+FG

∴BG=AB+AK

（3）解法一：

如圖，過點G作GI⊥KD于點I，

由（2）知，四邊形AFGK是平行四邊形，△ABF為等腰直角三角形.

∴AF=KG=2, .

∵四邊形ABCD是矩形，

∴GI=AB=,。

∵PD=x

∴PK=2﹣x

∵PM∥DG，PN∥KG

∴四邊形PMGN是平行四邊形，△DKG∽△PKM∽△DPN

∴，

即

同理，

.

解法二：

如圖，過點P作PQ⊥KG于點Q，

∴KD=KG，∠KDG=∠KGD

又∵PN∥KG

∴∠PND=∠KGD

∴∠PND=∠KDFG

∴PN=PD=x.

∵AF∥KG，

∴∠PKM=∠DAF=45°，又∵PK=2﹣x

∴

又∵PN∥KG，

.

“點睛”本題主要考查了矩形的性質以及平行四邊形的性質，解題時需要運用全等三角形的判定與性質．解答此題的關鍵是運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質，并根據圖形面積的等量關系列出方程進行求解，難度較大，具有一定的綜合性．