Question

【題目】定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．

性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．

理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．

應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．

（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．

探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12.探究：△ABC的面積是2或2．

【解析】

試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；

（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．

探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵AE=BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴OE=OB，

∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，

∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，

∵△AOB與△AOE是友好三角形，

∴S△AOB=S△AOE，

∵△AOE≌△FOB，

∴S△AOE=S△FOB，

∴S△AOD=S△ABF，

∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．

探究：

解：分為兩種情況：①如圖1，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折疊A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=×4=2，

∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OB，A′O=CO，

∴四邊形A′DCB是平行四邊形，

∴BC=A′D=2，

過B作BM⊥AC于M，

∵AB=4，∠BAC=30°，

∴BM=AB=2=BC，

即C和M重合，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC=，

∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2；

②如圖2，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折疊A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=×4=2，

∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OA′，BO=CO，

∴四邊形A′BDC是平行四邊形，

∴A′C=BD=2，

過C作CQ⊥A′D于Q，

∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，

∴CQ=A′C=1，

∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；

即△ABC的面積是2或2．