Question

【題目】（本題滿分9分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．

（1）求線段AD的長(zhǎng)度；

（2）點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線ED與⊙O相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）

【解析】

試題（1）由勾股定理易求得AB的長(zhǎng)；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關(guān)于AC、AD、AB的比例關(guān)系式，即可求出AD的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)ED與⊙O相切時(shí)，由切線長(zhǎng)定理知EC=ED，則∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE，即E是AC的中點(diǎn)．在證明時(shí)，可連接OD，證OD⊥DE即可．

試題解析：解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，

∴AB=5cm．

連結(jié)CD，

∵BC為直徑，

∴∠ADC =∠BDC =90°．

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC ∽Rt△ACB．

∴，

∴．

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切．

證明：連結(jié)OD，

∵DE是Rt△ADC的中線．

∴ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD．

∵OC=OD，

∴∠ODC =∠OCD．

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．

∴ED與⊙O相切．