Question

如圖一，在△ABC中，分別以AB，AC為直徑在△ABC外作半圓和半圓，其中和分別為兩個半圓的圓心. F是邊BC的中點，點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點.

（1）連結，證明：；
（2）如圖二，過點A分別作半圓和半圓的切線，交BD的延長線和CE的延長線于點P和點Q，連結PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求線段PQ的長;

（3）如圖三，過點A作半圓的切線，交CE的延長線于點Q，過點Q作直線FA的垂線，交BD的延長線于點P，連結PA. 證明：PA是半圓的切線

Answer 1

（1）證明略
（2）
（3）證明略

（1）證明：如圖一，∵，，F分別是AB，AC，BC邊的中點，

∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，
∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC,
∴∠BF=∠CF
∵點D和點E分別為兩個半圓圓弧的中點，
∴F =A=E，F =A=D，       ……………………….2分
∠BD =90°，∠CE =90°，
∴∠BD=∠CE.
∴∠DF=∠FE.
∴.                  ………………………….3分
（2）解：如圖二，延長CA至G，使AG=AQ,連接BG、AE.

∵點E是半圓圓弧的中點，
∴AE=CE=3
∵AC為直徑
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，
∵AQ是半圓的切線，
∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ="90°"   
∴AQ=AC=AG=
同理：∠BAP=90°，AB=AP=
∴CG=,∠GAB=∠QAP
∴.                                            ……………………..5分
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC==
∴BG==
∴PQ=.                 …………………..6分
（3） 證法一：如圖三，設直線FA與PQ的垂足為M，過C作CS⊥MF于S，過B作BR⊥MF于R，連接DR、AD、DM.

∵F是BC邊的中點，∴.
∴BR=CS，
由（2）已證∠CAQ="90°," AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可證AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四點在以AB為直徑的圓上，A、D、P、M四點在以AP為直徑的圓上，
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8, ∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴，
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB,又AB是半圓直徑，
∴PA是半圓的切線.                ……………………..8分
證法二：假設PA不是是半圓的切線，如圖四，

過點A作半圓的切線交BD的延長線于點，則點異于點P，連結，設直線FA與PQ的垂足為M，直線FA與的交點為.延長AF至N，使得AF=FN，連結BN，CN，由于點F是BC中點，所以四邊形ABNC是平行四邊形.
易知，，
∵AQ是半圓的切線,
∴∠QAC=90°，同理.
∴.
∴.
由（2）可知，,
∴.
∴.
∵,
∴.
即 .
∴.
即 .
∵,
∴ 過點Q有兩條不同的直線和同時與AF垂直.
這與在平面內過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直相矛盾,
因此假設錯誤.所以PA是是半圓的切線.