Question

（本小題滿分10分）已知，等腰Rt△ABC中，點O是斜邊的中點，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑動△MPN，在滑動過程中始終保持點P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別為E、F．

（1）如圖1，當點P與點O重合時，OE、OF的數量和位置關系分別是____     __．
（2）當△MPN移動到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．
（3）如圖3，等腰Rt△ABC的腰長為6，點P在AC的延長線上時，Rt△MPN的邊 PM    
與AB的延長線交于點E，直線BC與直線NP交于點F，OE交BC于點H，且 EH：  HO=2：5，則BE的長是多少？

Answer 1

（1）數量關系：相等，位置關系：垂直．        
（2）成立，易證△ＯＥＢ≌△ＯＦC；
（３）．

分析：
（1）根據題意及圖示即可得出OE、OF的數量關系：相等，位置關系：垂直；
（2）根據題意及圖示可證明△OEB≌△OFC，故成立；
（3）根據題意及圖示，還有所給比例關系即可得出答案。
解答：
（1）數量關系：相等，位置關系：垂直故答案為相等且垂直。
（2）成立，理由如下：
∵△MPN是直角三角形，
∴∠MPN=90°。
連接OB，
∴∠OBE=∠C=45°，
∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，
∴四邊形EBFP是矩形，
∴BE=PF
∵PF=CF，
∴BE=CF，
∵OB=OC=1/2AC，
∴在△OEB和△OFC中，BE＝CF；∠OBE＝∠OCF；OB＝OC
∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立。
（3）如圖，找BC的中點G，連接OG，
∵O是AC中點，
∴OG∥AB，OG=1/2AB，
∵AB=6，
∴OG=3，
∵OG∥AB，
∴△BHE∽△GOH，
∵EH：HO=2：5，
∴BE：OG=2：5，
而OG=1/2AB=3，
∴BE=6/5
點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的證明，比例關系等，難度較大。