Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A和點B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且OA=6，OB=8，點D是AB的中點．

（1）直接寫出點D的坐標及AB的長；

（2）若直角∠NDM繞點D旋轉，射線DP分別交x軸、y軸于點P、N，射線DM交x軸于點M，連接MN．

①當點P和點N分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸時，若△PDM∽△MON，求點N的坐標；

②在直角∠NDM繞點D旋轉的過程中，∠DMN的大小是否會發生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】 （1）點D的坐標為（3，4），AB=10；（2）①點N的坐標為（0， ）；②在直角∠NDM繞點D旋轉的過程中，∠DMN的大小不會發生變化，理由見解析

【解析】

（1）根據OA＝6，OB＝8，點D是AB的中點，可得點D的坐標為（3，4），根據勾股定理可得AB10；

（2）①先過點D作DC⊥y軸于C，作DE⊥x軸于E，則得出CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，再設ON＝x，則CN＝4﹣x，判定△CDN∽△EDM，得出EM（4﹣x），判定△CDN∽△OPN，得出OP，再根據PO＝MO，得出關于x的方程（4﹣x），求得x的值即可得到點N的坐標；

②先根據△CDN∽△EDM，得到，再根據OA＝6，OB＝8，得到，最后根據，∠AOB＝∠NDM＝90°，判定△AOB∽△NDM，根據相似三角形的對應角相等，可得∠DMN＝∠OBA，進而得到∠DMN的大小不會發生變化．

（1）∵OA＝6，OB＝8，點D是AB的中點，∴點D的坐標為（3，4），AB10；

（2）①如圖，過點D作DC⊥y軸于C，作DE⊥x軸于E，則

CD＝3＝OE，DE＝4＝CO，∠DCN＝∠DEM＝90°，設ON＝x，則CN＝4﹣x．

∵∠CDE＝∠PDM＝90°，∴∠CDN＝∠EDM，∴△CDN∽△EDM，∴，即，∴EM（4﹣x）．

∵CD∥PO，∴△CDN∽△OPN，∴，即，∴OP．

∵△PDM∽△MON，∴∠NPO＝∠NMO，∴PN＝MN．

∵NO⊥PM，∴PO＝MO，即（4﹣x），解得：x1＝10（舍去），x2，∴ON，∴點N的坐標為（0，）；

②在直角∠NDM繞點D旋轉的過程中，∠DMN的大小不會發生變化．理由如下：

由①可得：△CDN∽△EDM，∴，即．

又∵OA＝6，OB＝8，∴，∴，即．

又∵∠AOB＝∠NDM＝90°，∴△AOB∽△NDM，∴∠DMN＝∠OBA．

∵∠OBA大小不變，∴∠DMN的大小不會發生變化．