Question

在△ABC中，
（1）如圖1，BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60，請補全圖形，并直接寫出△ABP與△BPC面積的比值；
（2）如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和ACE，CD與BE相交于點O，求證：BE=CD；
（3）在（2）的條件下判斷∠AOD與∠AOE的數量關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，再根據三角形的面積公式列式求解即可；
（2）根據等邊三角形的性質可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，再求出∠DAC=∠BAE，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（3）根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠ACD，然后求出∠COE=∠CAE=60°，從而得到點A、O、C、E四點共圓，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等求出∠AOE=∠ACE=60°，然后根據平角等于180°求出∠AOD=60°，從而得解．

解答：（1）解：∵BP為△ABC的角平分線，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∴PM=PN，
∴S_△ABP：S_△BPC=

1

2

AB•PM：

1

2

BC•PN=AB：BC，
∵AB=50，BC=60，
∴△ABP與△BPC面積的比值為

5

6

；

（2）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD；

（3）解：∠AOD=∠AOE．
理由如下：∵△ABE≌△ADC（已證），
∴∠AEB=∠ACD，
在△ACE中，∠AEB+∠BEC+∠ACE+∠CAE=180°，
在△OCE中，∠BEC+∠ACE+∠ACD+∠COE=180°，
∴∠COE=∠CAE=60°，
∴點A、O、C、E四點共圓，
∴∠AOE=∠ACE=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COE=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOD=∠AOE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，（1）主要利用了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，（2）熟記等邊三角形的性質并求出∠DAC=∠BAE是證明三角形全等的關鍵，（3）難點在于證明A、O、C、E四點共圓．