Question

如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．
請按要求完成下列各題：
（1）畫AD∥BC（D為格點），連接CD；
（2）試判斷△ABC的形狀？請說明理由；
（3）若E為BC中點，F為AD中點．四邊形AECF是什么特殊的四邊形？請說明理由．

Answer 1

（1）如圖

（2）直角三角形，理由見解析
（3）菱形，理由見解析

試題分析：（1）把BC看成左下角的直角三角形斜邊，作一個直角三角形與這個三角形全等，使A與B對應，D與C對應，則AD∥BC；
（2）分別計算三邊長度，根據勾股定理的逆定理判斷；
（3）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半證明四邊相等判斷是菱形．
解：（1）如圖，AD為所求作的平行線；

（2）△ABC是直角三角形．
∵AB²=1²+2²=5；AC²=2²+4²=20；BC²=3²+4²=25，
∴BC²=AB²+AC²，
∴△ABC為直角三角形；
（3）四邊形AECF為菱形．
由作法知BC平行且對于AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴△ACD為直角三角形．
∵F是AD的中點，
∴CF=AF=2.5．
又∵E是BC中點，
∴AE=EC=2.5．
∴AE=EC=CF=AF．
∴四邊形AECF是菱形．
點評：此題考查直角三角形的判定和性質、特殊四邊形的判定及作圖能力，綜合性較強．