Question

如圖，拋物線C₁：y=（x+m）²（m為常數，m＞0），平移拋物線y=﹣x²，使其頂點D在拋物線C₁位于y軸右側的圖象上，得到拋物線C₂．拋物線C₂交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，設點D的橫坐標為a．

（1）如圖1，若m=．
①當OC=2時，求拋物線C₂的解析式；
②是否存在a，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，當OB=2﹣m（0＜m＜）時，請直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點的坐標（用含m的式子表示）．

Answer 1

(1) ①y=﹣x²+x+2．②．（2）P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．

試題分析：（1）①首先寫出平移后拋物線C₂的解析式（含有未知數a），然后利用點C（0，2）在C₂上，求出拋物線C₂的解析式；
②認真審題，題中條件“AP=BP”意味著點P在對稱軸上，“點B與點C到直線OP的距離之和最大”意味著OP⊥BC．畫出圖形，如圖1所示，利用三角函數（或相似），求出a的值；
（2）解題要點有3個：
i）判定△ABD為等邊三角形；
ii）理論依據是角平分線的性質，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等；
iii）滿足條件的點有4個，即△ABD形內1個（內心），形外3個．不要漏解．
試題解析：（1）當m=時，拋物線C₁：y=（x+）²．
∵拋物線C₂的頂點D在拋物線C₁上，且橫坐標為a，
∴D（a，（a+）²）．
∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+）²（I）．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵點C在拋物線C₂上，
∴﹣（0﹣a）²+（a+）²=2，
解得：a=，代入（I）式，
得拋物線C₂的解析式為：y=﹣x²+x+2．
②在（I）式中，
令y=0，即：﹣（x﹣a）²+（a+）²=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；
令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有：
，解得，
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+（a+）．
假設存在滿足條件的a值．
∵AP=BP，
∴點P在AB的垂直平分線上，即點P在C₂的對稱軸上；
∵點B與點C到直線OP的距離之和≤BC，只有OP⊥BC時等號成立，
∴OP⊥BC．
如圖1所示，設C₂對稱軸x=a（a＞0）與BC交于點P，與x軸交于點E，
則OP⊥BC，OE=a．

∵點P在直線BC上，
∴P（a，a+），PE=a+．
∵tan∠EOP=tan∠BCO=，
∴，
解得：a=．
∴存在a=，使得線段BC上有一點P，滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP="BP"
（3）∵拋物線C₂的頂點D在拋物線C₁上，且橫坐標為a，
∴D（a，（a+m）²）．
∴拋物線C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+m）²．
令y=0，即﹣（x﹣a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=﹣m，∴B（2a+m，0）．
∵OB=2﹣m，
∴2a+m=2﹣m，
∴a=﹣m．
∴D（﹣m，3）．
AB=OB+OA=2﹣m+m=2．
如圖2所示，設對稱軸與x軸交于點E，則DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD為等邊三角形．
作∠ABD的平分線，交DE于點P₁，則P₁E=BE•tan30°=×=1，
∴P₁（﹣m，1）；
在△ABD形外，依次作各個外角的平分線，它們相交于點P₂、P₃、P₄．
在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=•=3，
∴P₂（﹣m，﹣3）；
易知△ADP₃、△BDP₄均為等邊三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2，且P₃P₄∥x軸．
∴P₃（﹣﹣m，3）、P₄（3﹣m，3）．
綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點有4個，
其坐標為：P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．
【考點】二次函數綜合題．