Question

如圖，菱形ABCD的對角線AC長8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，PM+PN的最小值是5，則菱形的邊長等于____________。

Answer 1

5

試題分析：首先作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．然后證明四邊形PMBN為菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=5．
作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．

∵菱形ABCD關于AC對稱，M是AB邊上的中點，
∴M′是AD的中點，
又N是BC邊上的中點，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四邊形AM′NB是平行四邊形，
∴PN∥AB，
又N是BC邊上的中點，
∴P是AC中點，
∴PM∥BN，PM=BN，
∴四邊形PMBN是平行四邊形，
∵BM=BN，
∴平行四邊形PMBN是菱形．
∴MP+NP=BM+BN=BC=5．
故答案為5．
點評：解答本題的關鍵是判斷當PMBN為菱形時，MP+NP有最小值。