Question

【題目】已知拋物線C：y=x2﹣2x+1的頂點為P，與y軸的交點為Q，點F（1，）．

（1）求tan∠OPQ的值；

（2）將拋物線C向上平移得到拋物線C′，點Q平移后的對應點為Q′，且FQ′=OQ′．

①求拋物線C′的解析式；

②若點P關于直線Q′F的對稱點為K，射線FK與拋物線C′相交于點A，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①y=x2﹣2x+，；②A（，）．．

【解析】

試題（1）求出于y軸交點，然后求tan∠OPQ的值.(2) ①先設出函數方程，再利用FQ′=OQ′，求出函數解析式.②把每一個點都用坐標表示出來，先求出FQ'解析式，利用FQ'⊥PK，求出PK解析式，求交點，再求出FK的解析式，與二次函數聯立，得到A點坐標.

試題解析：

解：（1）∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴頂點P（1，0），

∵當x=0時，y=1，

∴Q（0，1），

∴tan∠OPQ=1.

（2）①設拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1，），

過F作FH⊥OQ′，如圖：

∴FH=1，Q′H=m﹣，

在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣）2+1=m2﹣m+，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+=m2，

∴m=，

∴拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+，

②方法一：設點A（x0，y0），則y0=x02﹣2x0+①，

過點A作x軸的垂線，與直線Q′F相交于點N，則可設N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

連接FP，

∵F（1，），P（1，0），

∴FP⊥x軸，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，則AF=AN，

∵A（x0，y0），F（1，），

∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+=x02﹣2x0++y02﹣y0=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0，②

∵y0=x02﹣2x0+①，

將①右邊整體代換②得，AF2=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02，

∵y0＞0，

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

設直線Q′F的解析式為y=kx+b，

,

解,

∴y=x+，

由點N在直線Q′F上，得，0=x+,

∴x0=,

將x0=代入y0=x2﹣2x0+，

∴y0=，

∴A（，）．

方法二：由①有，Q'（0，），F（1，），P（1，0），

∴直線FQ'的解析式為y=x+,①

∵FQ'⊥PK，P（1，0），

∴直線PK的解析式為y=x﹣，②

聯立①②得出，直線FQ'與PK的交點M坐標為（，），

∵點P，K關于直線FQ'對稱，

∴K（，），

∵F（1，），

∴直線FK的解析式為 y=x+③，

∵射線FK與拋物線C′：y=x2﹣2x+④相交于點A，

∴聯立③④得，，,或（舍）,

∴A（，）．