Question

【題目】如圖，圓心在坐標原點的⊙O，與坐標軸的交點分別為A、B和C、D．弦CM交OA于P，連結AM，已知tan∠PCO＝，PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的兩根．

（1）求C點的坐標；

（2）寫出直線CM的函數解析式；

（3）求△AMC的面積．

Answer 1

【答案】（1）點C坐標（﹣6，0）；（2）y＝x+4；（3）△AMC的面積為．

【解析】

（1）連接BC，根據一元二次方程根與系數的關系可求PCPM＝20，然后根據銳角三角函數設CO＝3x，PO＝2x，利用x表示出AP和BP，然后證出△AMP∽△CBP，列出比例式即可求出結論；

（2）設直線CM的函數解析式為：y＝kx+b，將點C、P的坐標代入即可求出結論；

（3）過點M作MN⊥AB于N，利用勾股定理求出PC即可求出PM，然后證出MN∥CO，即可證出△CPO∽△MPN，然后列出比例式即可求出MN，最后利用△AMC的面積＝×AP×（CO+MN）即可求出結論．

（1）如圖，連接BC，

∵PC、PM是方程x2﹣px+20＝0的兩根．

∴PCPM＝20，

∵tan∠PCO＝＝，

∴設CO＝3x，PO＝2x，

∵圓心在坐標原點的⊙O，與坐標軸的交點分別為A、B和C、D，

∴OC＝OB＝OD＝OA＝3x，

∴AP＝x，

∴BP＝5x，

∵∠AMC＝∠CBA，∠APM＝∠BPC，

∴△AMP∽△CBP，

∴，

∴PCPM＝APPB＝20，

∴x5x＝20，

∴x＝2，x＝-2（舍去）

∴CO＝6，OP＝4，

∴點C坐標（﹣6，0）；

（2）∵OP＝4，

∴點P（0，4）

設直線CM的函數解析式為：y＝kx+b，

∴

解得：

∴直線CM的函數解析式為：y＝x+4，

（3）如圖，過點M作MN⊥AB于N，

∵CO＝6，OP＝4，

∴CP＝＝＝2，

∵CPPM＝20，

∴PM＝，

∵MN⊥AB，CO⊥AB，

∴MN∥CO，

∴△CPO∽△MPN，

∴，

∴＝

∴MN＝，

∵△AMC的面積＝×AP×（CO+MN）＝×2×（6+）＝．