Question

如圖，三個等圓⊙O，⊙M，⊙N的圓心均在x軸上，其中⊙O分別與⊙N、⊙M外切，且⊙M，⊙N分別經過點A（-45，0），B（45，0）．點G是⊙N上的一個動點，線段AG與y軸、⊙O分別交于點H、E、F，已知點K的坐標是（0，45）．當△AKH的面積最小時，則⊙O的弦EF長為

24

．

Answer 1

分析：要使△AKH的面積最小，邊KH上的高AO的值是45，只要KH最小即可，過A作AG切⊙N于G，此時KH最小，連接NG，OE，過O作OC⊥EF于C，求出AO、AN，證△ACO∽△AGN，得出比例式，求出OC，在△EOC中根據勾股定理求出EC，根據垂徑定理得出EF=2CE，代入求出即可．

解答：解：∵要使△AKH的面積最小，邊KH上的高AO的值是45，只要KH最小即可；
∴過A作AG切⊙N于G，此時KH最小，
連接NG，OE，過O作OC⊥EF于C，
則∠OCA=∠NGA=90°，
∵A（-45，0），B（45，0），三個等圓⊙O、⊙M、⊙N，
∴三個圓的半徑是（45+45）÷3÷2=15，
即GN=15，AO=45，AN=90-15=75，
∵∠OCA=∠NGA=90°，
∠GAN=∠GAN，
∴△ACO∽△AGN，
∴

AO

AN

=

OC

GN

，
∴

45

75

=

OC

15

，
∴OC=9，
在Rt△EOC中，由勾股定理得：EC=

OE2-OC2

=

152-92

=12，
∵OC⊥EF，OC過圓心O，
∴由垂徑定理得：EF=2CE=24．
故答案為：24．

點評：本題考查了勾股定理，切線的性質，相似三角形的性質和判定，坐標與圖形性質，垂徑定理，三角形的面積等知識點，解此題的突破口是找出符合條件的G的位置，題目比較好，綜合性比較強，有一定的難度．