Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為r（r＞0）．給出如下定義：若平面上一點(diǎn)P到圓心O的距離d，滿足，則稱點(diǎn)P為⊙O的“隨心點(diǎn)”．

（1）當(dāng)⊙O的半徑r＝2時(shí)，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“隨心點(diǎn)”是_____；

（2）若點(diǎn)E（4，3）是⊙O的“隨心點(diǎn)”，求⊙O的半徑r的取值范圍；

（3）當(dāng)⊙O的半徑r＝2時(shí)，直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在⊙O的“隨心點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A，C；（2）；（3）或．

【解析】

（1）由可求出d的范圍是，再根據(jù)各點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離，從而判斷是否在此范圍內(nèi)即可；
（2）由點(diǎn)E的坐標(biāo)求出d=5，可根據(jù)E是⊙O的“隨心點(diǎn)”， ，可求出r的范圍；
（3）如圖，a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，可求出，分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，求出答案即可．

解：（1）∵⊙O的半徑r=2，
∴r=1，r=3，

∵，
∴，
∵A（3，0），
∴OA=3，在范圍內(nèi)，
∴點(diǎn)A是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
∵B（0，4），
∴OB=4，而4＞3，不在范圍內(nèi)，
∴B不是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
∵C（-，2），
∴OC=，在范圍內(nèi)，
∴點(diǎn)C是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
∵D（，-），
∴OD=，不在范圍內(nèi)，
∴點(diǎn)D不是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
　故答案為：A，C
（2）∵點(diǎn)E（4，3），
∴OE=，即d=5，

∵點(diǎn)E（4，3）是⊙O的“隨心點(diǎn)”，

∴，

解得；

（3）如圖a∥b∥c∥d，

∵⊙O的半徑r=2，隨心點(diǎn)范圍，
∴，
∵直線MN的解析式為y=x+b，

∴x=0時(shí)，y=b；y=0時(shí)，x=-b，
∴OM=ON，

∴直線MN與y軸夾角為45°，
①點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)M是⊙O的“隨心點(diǎn)”，此時(shí)，點(diǎn)M（-1，0），
將M（-1，0）代入直線MN的解析式y=x+b中，0=-1+b，

解得，b=1，
∴b的最小值為1，
過(guò)點(diǎn)O作OG⊥M'N'于G，
當(dāng)點(diǎn)G是距離⊙O最遠(yuǎn)的其中一個(gè)“隨心點(diǎn)”時(shí)，此時(shí)OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3
∴在Rt△GNN’中， ，

解得ON'，

將N'（0，）代入直線MN的解析式y=x+b中，=b，
∴b的最大值為，
∴，
②當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同①的方法得出，

綜上所述，b的取值范圍為或．