Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣ ，0）、B（3 ，0）、C（0，3）三點，線段BC與拋物線的對稱軸相交于D．該拋物線的頂點為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點E．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以Q、C、D為頂點的三角形與△ADP全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）將∠CED繞點E順時針旋轉，邊EC旋轉后與線段BC相交于點M，邊ED旋轉后與對稱軸相交于點N，連接PM、DN，若PM=2DN，求點N的坐標（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為：y=a（x+ ）（x﹣3 ），代入點C（0，3）后，得：

a（0+ ）（0﹣3 ）=3，解得 a=﹣

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x+ ）（x﹣3 ）=﹣ x2+ x+3

（2）

解：設直線BC的解析式：y=kx+b，依題意，有：

，

解得 ．

故直線BC：y=﹣ x+3．

由拋物線的解析式知：P（ ，4），將點P的橫坐標代入直線BC中，得：D（ ，2）．

設點Q（x，y），則有：

QC2=（x﹣0）2+（y﹣3）2=x2+y2﹣6y+9、QD2=（x﹣ ）2+（y﹣2）2=x2+y2﹣2 x﹣4y+7；

而：PA2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣4）2=28、AD2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣2）2=16、CD=PD=2；

△QCD和△APD中，CD=PD，若兩個三角形全等，則：

①QC=AP、QD=AD時，

②QC=AD、QD=AP時，

解①、②的方程組，得： 、 、 、 ；

∴點Q的坐標為（3 ，4）、（ ，﹣2）、（﹣2 ，1）或（0，7）

（3）

解：根據題意作圖如右圖；

由D（ ，2）、B（3 ，0）知：DF=2，BF=2 ；

∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等邊三角形；

在△CEM和△DEN中，

∴△CEM≌△DEN，則 CM=DN，PM=2CM=2DN；

設點M（x，﹣ x+3），則有：

PM2=（ ﹣x）2+（4+ x﹣3）2= x2﹣ x+4、CM2=x2+ x2= x2；

已知：PM2=4CM2，則有：

x2﹣ x+4=4× x2，解得 x= ；

∴CM=DN= ×x= × = ；

則：FN=DF﹣DN=2﹣ = ，

∴點N（ ， ）．

【解析】（1）已知拋物線經過的三點坐標，直接利用待定系數法求解即可．（2）由于點Q的位置可能有四處，所以利用幾何法求解較為復雜，所以可考慮直接用SSS判定兩三角形全等的方法來求解．那么，首先要證明CD=DP，設出點Q的坐標后，表示出QC、QD的長，然后由另兩組對應邊相等列方程來確定點Q的坐標．（3）根據B、D的坐標，容易判斷出△CDE是等邊三角形，然后通過證△CEM、△DEN全等來得出CM=DN，首先設出點M的坐標，表示出PM、CM的長，由PM=2DN=2CM列方程確定點M的坐標，進一步得到CM的長后，即可得出DN的長，由此求得點N的坐標．