Question

【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=6,點E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連結AG、CF.下列結論中正確結論的個數是 ( )

①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450；③BG=GC； ④AG∥CF； ⑤S△FGC=3.6

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：①用HL證明△ABG≌△AFG；②由△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，得到∠EAG＝∠BAD；③在直角三角形CEG中，由勾股定理求GC的長；④根據基本圖形“等腰三角形＋角平分線→平行線”證明；⑤由GF:EG＝3:5，得S△FCG:S△ECG＝3:5.

詳解：①根據軸對稱的性質得，△ADE≌△AFE，

所以AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°.

因為AB＝AD，∠B＝90°，所以AB＝AF，

因為AG＝AG，所以△ABG≌△AFG.

則①正確；

②因為△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，

所以∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，

所以∠EAG＝∠FAE＋∠FAE＝∠BAD＝×90°＝45°.

則②正確；

③因為△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，

所以ED＝EF，GB＝GF，所以EG＝DE＋BG，

設BG＝x，則CG＝FG＝6－x，DE＝2，CE＝4，EG＝x＋2＝x＋2.

Rt△CEG中，由勾股定理得，CG2＋CE2＝EG2，

所以(6－x)2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.

則CG＝6－x＝3，又BG＝x＝3，所以BG＝CG.

則③正確；

④因為△ABG≌△AFG，所以∠AGB＝∠AGF.

因為BG＝CG，BG＝GF，所以CG＝GF，所以∠GCF＝∠GFC.

因為∠BGE＝∠GCF＋∠GFC，所以∠AGB＝∠GCF，所以AG∥CF.

則④正確；

⑤因為GF＝3，GE＝5，所以S△FGC＝S△GCE＝×GC·CE＝××3×4＝3.6.

則⑤正確.

故選D.