Question

如圖，長方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y）軸上，連結(jié)OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A′處，A′B與y軸交于點F，且知OA=1，AB=2．
（1）分別求出OF的長度和點A′坐標(biāo)；
（2）設(shè)過點B的雙曲線為y=

k

x

（x＞0），則k=

2

；
（3）如果D為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點，且D點的橫坐標(biāo)為2，在x軸上求一點P，使PB+PD最小．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得∠OBA=∠OBA′，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，繼而得出∠COB=∠OBA′，故FB=FO，設(shè)FB=FO=x，則A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根據(jù)勾股定理可得出OF，A′F的長，過點A′作A′E垂直x軸于點E，易得△OA'E∽△OBA，利用對應(yīng)邊成比例，可得出A'E、OE，繼而得出點A'的坐標(biāo)．
（2）將點B的坐標(biāo)代入y=

k

x

（x＞0），可得出k的值；
（3）先求出點D的坐標(biāo)，作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接D'B，則D'B與x軸的交點即是點P的位置，求出D'B的長度，即可得出答案．

解答：解：（1）由折疊的性質(zhì)得：∠OBA=∠OBA′，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠COB，
∴∠OBA'=∠COB，
∴OF=BF，
設(shè)FB=FO=x，則A′F=2-x，
在Rt△OA′F中，A′O²+A′F²=OF²，即1²+（2-x）²=x²，
解得：x=

5

4

，
故OF=

5

4

；
過點A′作A′E垂直x軸于點E，如圖①所示：

易得△OA'E∽△OBA，
∴

OE

OA

=

A′E

AB

=

OA′

OB

=

1

5

，
∴OE=

5

5

，A′E=

2 5

5

，
故點A′的坐標(biāo)為（-

5

5

，

2 5

5

）．
（2）∵OA=1，AB=2，
∴點B的坐標(biāo)為（1，2），
將點B（1，2）代入y=

k

x

（x＞0），可得：k=2．
（3）點D的橫坐標(biāo)為x=2，代入y=

2

x

，可得y=1，
故點D的坐標(biāo)為（2，1），
作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接D'B，則D'B與x軸的交點即是點P的位置，如圖②所示：

點D'（2，-1），
設(shè)直線BD'的解析式為：y=kx+b，
則

2k+b=-1 k+b=2

，
解得：

k=-3 b=5

，
∴直線BD'的解析式為：y=-3x+5，
令y=0，可得x=

5

3

，
故點P的位置為（

5

3

，0），此時PB+PD最小，最小值=BD'=

(2-1)2+(-1-1)2

=

5

．
即PB+PD的最小值為

5

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了翻折變換、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題要求同學(xué)們具有扎實的基本功，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．