Question

如圖所示，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，2），連接AC，若tan∠OAC=2．

（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使∠APC=90°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖所示，連接BC，M是線段BC上（不與B、C重合）的一個動點，過點M作直線l′∥l，交拋物線于點N，連接CN、BN，設點M的橫坐標為t．當t為何值時，△BCN的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

(1) y=x²-3x+2；(2)存在，理由見解析；（3）當t=1時，S_△BCN的最大值為1．

試題分析：（1）已知了C點的坐標，即可得到OC的長，根據∠OAC的正切值即可求出OA的長，由此可得到A點的坐標，將A、C的坐標代入拋物線中，即可確定該二次函數的解析式；
（2）根據拋物線的解析式即可確定其對稱軸方程，由此可得到點P的橫坐標；若∠APC=90°，則∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此兩角相等，則它們的正切值也相等，由此可求出線段PE的長，即可得到點P點的坐標；（用相似三角形求解亦可）
（3）根據B、C的坐標易求得直線BC的解析式，已知了點M的橫坐標為t，根據直線BC和拋物線的解析式，即可用t表示出M、N的縱坐標，由此可求得MN的長，以MN為底，B點橫坐標的絕對值為高，即可求出△BNC的面積（或者理解為△BNC的面積是△CMN和△MNB的面積和），由此可得到關于S（△BNC的面積）、t的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得S的最大值及對應的t的值．
試題解析：：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點C（0，2），
∴x=2；
又∵tan∠OAC==2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵點A在拋物線y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴拋物線對應的二次函數的解析式為y=x²-3x+2；
（2）存在．
過點C作對稱軸l的垂線，垂足為D，如圖所示，

∴x=-；
∴AE=OE-OA= ，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴，
即 ，
解得PE=或PE=，
∴點P的坐標為（，）或（，）．
（3）如圖所示，易得直線BC的解析式為：y=-x+2，

∵點M是直線l′和線段BC的交點，
∴M點的坐標為（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=MN?t+MN?（2-t）=MN?（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴當t=1時，S_△BCN的最大值為1．
考點: 二次函數綜合題